割った余り

主に統計学の勉強メモ

映画感想「ノーゲーム・ノーライフ ゼロ」(ネタバレあり)

映画感想「ノーゲーム・ノーライフ ゼロ」(ネタバレあり)




テレビアニメは全話見たということもあり、映画観ました。
原作は読んだことないです。

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以下ネタバレ


















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現代数理統計学(竹村彰通 創文社 p34 問6 解答)

問)

    \begin{eqnarray}
        F(F_{L}^{-1}(u))\geq{u} & & , & & F(F_{R}^{-1}(u))\geq{u}
    \end{eqnarray}
...(2.83)
を示せ。また F(x-)=P(X{<}x)とおく時

    \begin{eqnarray}
        F(F_{L}^{-1}(u)-)\leq{u} & & , & & F(F_{R}^{-1}(u)-)\leq{u}
    \end{eqnarray}
...(2.84)
を示せ。これよりFが連続ならば,X{\sim}Fの時

    \begin{eqnarray}
        F(x){\sim}U[0,1]
    \end{eqnarray}
...(2.85)
を示せ。また、Fが離散分布の場合には(2.83)式及び(2.84)式で等号が
必ずしも成り立たないことを例を用いて示せ。

解答)
テキストp17~p18の説明のとおり

    \begin{eqnarray}
        F_{R}^{-1}(u){\geq}F_{L}^{-1}(u)
    \end{eqnarray}
...(1)
である。(1)式の両辺の値それぞれの累積分布関数の大小関係は

    \begin{eqnarray}
        F(F_{R}^{-1}(u)){\geq}F(F_{L}^{-1}(u))
    \end{eqnarray}
...(2)
と変わらない。(2)式より

    \begin{eqnarray}
        F(F_{L}^{-1}(u)){\geq}u
    \end{eqnarray}
...(3)
を示せば(2.83)式を示したことになる。
(3)式はテキストp17に書かれている定義

    \begin{eqnarray}
        F_{L}^{-1}(u)=min(x|F(x){\geq}u)
    \end{eqnarray}
...(2.25)
より明らかである。
以上より(2.83)式が示された。

次に(2.84)式を示す。
(1)式の大小関係は F(x-)=P(X{<}x)より

    \begin{eqnarray}
        F(F_{R}^{-1}(u)-){\geq}F(F_{L}^{-1}(u)-)
    \end{eqnarray}
...(4)
である。(4)式より

    \begin{eqnarray}
        F(F_{R}^{-1}(u)-){\leq}u
    \end{eqnarray}
...(5)
を示せば(2.84)式を示したことになる。
テキストp17のF_{R}^{-1}(u)の定義式(2.26)式は

    \begin{eqnarray}
        F_{R}^{-1}(u) &=& max\{x|P(X{\geq}x){\geq}1-u\} \\
                      &=& max\{x|1-P(X{<}x){\geq}1-u\} \\
                      &=& max\{x|P(X{<}x){\leq}u\} \\
                      &=& max\{x|F(x-){\leq}u\}                      
    \end{eqnarray}
...(6)
と変形できる。(6)式より(5)式が成り立つのは明らかである。
以上より(2.84)式が示された。

次に(2.85)式を示す。
(2.85)式は

    \begin{eqnarray}
        P(F(x){\leq}u) = \begin{cases}
                          0 \ \ \ if \ \ \ u<0 \\
                          u \ \ \ if \ \ \ 0{\leq}u{\leq}1 \\
                          1 \ \ \ if \ \ \ u>1
                    \end{cases}                  
    \end{eqnarray}
...(7)
と同値である。
F(x)は累積分布関数であるので常に0{\leq}F(x)である。
よってu<0の場合、

    \begin{eqnarray}
        P(F(x){\leq}u) = 0          
    \end{eqnarray}
...(8)
である。また、F(x)は累積分布関数であるので常にF(x){\leq}1である。
よってu>1の場合、

    \begin{eqnarray}
        P(F(x){\leq}u) = 1        
    \end{eqnarray}
...(9)
である。
最後に0{\leq}u{\leq}1の場合を考える。
(2)式と

    \begin{eqnarray}
        F(F_{L}^{-1}(u))=P(X{\leq}F_{L}^{-1}(u))        
    \end{eqnarray}
...(10)

    \begin{eqnarray}
        F(F_{R}^{-1}(u)-)=P(X{<}F_{R}^{-1}(u))        
    \end{eqnarray}
...(11)
より

    \begin{eqnarray}
        F(F_{L}^{-1}(u)){\leq}F(F_{R}^{-1}(u)-)       
    \end{eqnarray}
...(12)
である。(12)式と(2.83)式と(2.84)式から

    \begin{eqnarray}
        u{\leq}F(F_{L}^{-1}(u)){\leq}F(F_{R}^{-1}(u)-){\leq}u       
    \end{eqnarray}
...(13)
である。また、テキストp18の(2.28)式より

    \begin{eqnarray}
        x{\leq}F_{L}^{-1}(u){\Leftrightarrow}F(x){\leq}u      
    \end{eqnarray}
...(14)
であるから、X=xとして定数とし、X^{'}を確率変数としたとき、

    \begin{eqnarray}
        F(F_{L}^{-1}(u)) &=& P(X{\leq}F_{L}^{-1}(u)) \\
                      &=& P(F(X){\leq}u) \\
                      &=& P(F(X^{'}{\leq}X){\leq}u) \\
           &=& P(F(x){\leq}u)
    \end{eqnarray}
...(15)
となる。(13)式と(15)式より

    \begin{eqnarray}
        P(F(x){\leq}u) = u
    \end{eqnarray}
...(16)
となる。
これで(8)式と(9)式と(16)式より(7)式が示されたので、
(2.85)式が示された。

最後にFが離散分布の場合には(2.83)式及び(2.84)式で等号が
必ずしも成り立たないことを例を用いて示す。
X

    \begin{eqnarray}
        X{\sim}Bin(5,\frac{1}{6})
    \end{eqnarray}
...(17)
のような二項分布に従うと仮定する。このとき

    \begin{eqnarray}
        P(X=0) &=& {}_{5}C_{0}(\frac{1}{6})^{0}(\frac{5}{6})^{5} &=& (\frac{5}{6})^{5} \\
        P(X=1) &=& {}_{5}C_{1}(\frac{1}{6})^{1}(\frac{5}{6})^{4} &=& (\frac{5}{6})^{5} \\
        P(X=2) &=& {}_{5}C_{2}(\frac{1}{6})^{2}(\frac{5}{6})^{3} &=& (\frac{2}{6})(\frac{5}{6})^{4}
    \end{eqnarray}
...(18)
であるので、
例えばu=2(\frac{5}{6})^{5}+(\frac{1}{6})(\frac{5}{6})^{4}のとき

    \begin{eqnarray}
        P(X{\leq}1) < u < P(X{\leq}2) 
    \end{eqnarray}
...(19)
であるから、

    \begin{eqnarray}
        F_{L}^{-1}(u)=min\{x|P(X{\leq}x){\geq}u\}=2
    \end{eqnarray}
...(20)

    \begin{eqnarray}
        F_{R}^{-1}(u)=max\{x|P(X{<}x){\leq}u\}=2
    \end{eqnarray}
...(21)
である。よって、

    \begin{eqnarray}
        F(F_{L}^{-1}(u))=P(X{\leq}2)=2(\frac{5}{6})^{5}+(\frac{2}{6})(\frac{5}{6})^{4}{>}u
    \end{eqnarray}
...(22)

    \begin{eqnarray}
        F(F_{R}^{-1}(u))=P(X{\leq}2)=2(\frac{5}{6})^{5}+(\frac{2}{6})(\frac{5}{6})^{4}{>}u
    \end{eqnarray}
...(23)

    \begin{eqnarray}
        F(F_{L}^{-1}(u)-)=P(X{<}2)=2(\frac{5}{6})^{5}{<}u
    \end{eqnarray}
...(24)

    \begin{eqnarray}
        F(F_{R}^{-1}(u)-)=P(X{<}2)=2(\frac{5}{6})^{5}{<}u
    \end{eqnarray}
...(25)
となるので、この場合では等号が成り立つXは存在しない。

以上

現代数理統計学(竹村彰通 創文社 p34 問5 解答)

問)
U01の間の一様分布に従う確率変数とする。Fを1次元の分布の
積分布関数としF_{L}^{-1}及びF_{R}^{-1}を左連続及び右連続なF逆関数とする。
X_{R}=F_{R}^{-1}(U)も分布Fに従うことを示せ。またX_{L}=F_{L}^{-1}(U)とおくとき
確率1でX_{R}=X_{L}となることを示せ。このような確率変数の変換を
確率積分変換(integral probabillity transformation)と呼ぶことがる。

解答)
分布Fに従う1次元の確率変数をXとしその実現値をxとする。
X_{R}=F_{R}^{-1}(U)が分布Fに従うことは

    \begin{eqnarray}
        P(X_{R}\leq{x})=F(x)
    \end{eqnarray}
...(1)
であることと同値であるので、(1)式を示す。
X_{R}=F_{R}^{-1}(U)の定義

    \begin{eqnarray}
        X_{R} = F_{R}^{-1}(U) = max\{x|P(X\geq{x})\geq{1-U}\}
    \end{eqnarray}
...(2)
より

    \begin{eqnarray}
        x{\leq}F_{R}^{-1}(U) \Leftrightarrow P(X\geq{x})\geq{1-U}
    \end{eqnarray}
...(3)
である。(3)式が成り立つ確率は

    \begin{eqnarray}
        P(x{\leq}F_{R}^{-1}(U)) &=& P(P(X{\geq}x){\geq}1-U) \\
                                &=& P(1-F(x)+P(x=F_{R}^{-1}(U)){\geq}1-U) \\
                                &=& P(U{\geq}F(x)-P(x=F_{R}^{-1}(U))) \\
                                &=& 1-F(x)+P(x=F_{R}^{-1}(U))
    \end{eqnarray}
...(4)
となる。(4)式の最後の等号は確率変数Uが連続な変数であるからP(U\leq{x})=P(U{<}x)であることと、確率変数U01の間の一様分布に従う場合の累積分布関数の関係式

    \begin{eqnarray}
        P(U\leq{x}) = x
    \end{eqnarray}
...(5)
を変形した

    \begin{eqnarray}
        1-P(U\leq{x}) = 1-x
    \end{eqnarray}
...(6)
を用いた。(4)式より

    \begin{eqnarray}
        F(x) &=& 1+P(x=F_{R}^{-1}(U))-P(x{\leq}F_{R}^{-1}(U))  \\
             &=& 1-P(x{<}F_{R}^{-1}(U)) \\
             &=& P(F_{R}^{-1}(U){\leq}x)
    \end{eqnarray}
...(7)
となるので(1)式が示されて、X_{R}=F_{R}^{-1}(U)も分布Fに従うことを示せた。

次にX_{L}=F_{L}^{-1}(U)とおくとき確率1でX_{R}=X_{L}となることを示す。
テキストp19の(2.29)式より

    \begin{eqnarray}
        P(X_{L}{\leq}x)=F(x)
    \end{eqnarray}
...(8)
である。(8)式と先に示した(1)式から

    \begin{eqnarray}
        P(X_{L}{\leq}x)=P(X_{R}{\leq}x)
    \end{eqnarray}
...(9)
である。(9)式のxX_{L}X_{R}をそれぞれ代入すると、

    \begin{eqnarray}
        P(X_{L}{\leq}X_{R})=P(X_{R}{\leq}X_{R})=P(X_{R}=X_{R})=1
    \end{eqnarray}
...(10)

    \begin{eqnarray}
        P(X_{R}{\leq}X_{L})=P(X_{L}{\leq}X_{L})=P(X_{L}=X_{L})=1
    \end{eqnarray}
...(11)
となる。また、

    \begin{eqnarray}
        (X_{R}{\leq}X_{L}){\cap}(X_{L}{\leq}X_{R})\Leftrightarrow(X_{L}=X_{R})
    \end{eqnarray}
...(12)

    \begin{eqnarray}
        P( (X_{R}{\leq}X_{L}){\cup}(X_{L}{\leq}X_{R}) )=1
    \end{eqnarray}
...(13)
である。以上の(10)式と(11)式と(12)式と(13)式より

    \begin{eqnarray}
        P(X_{L}=X_{R}) &=& P( (X_{R}{\leq}X_{L}){\cap}(X_{L}{\leq}X_{R}) ) \\
                       &=& P(X_{R}{\leq}X_{L}) + P(X_{L}{\leq}X_{R}) - P( (X_{R}{\leq}X_{L}){\cup}(X_{L}{\leq}X_{R}) ) \\
                       &=& 1 + 1 - 1 \\
                       &=& 1                       
    \end{eqnarray}
...(14)
となる。これでX_{L}=F_{L}^{-1}(U)とおくとき確率1でX_{R}=X_{L}となることを示せた。

以上

現代数理統計学(竹村彰通 創文社 p34 問4 解答)

問)
I_{u}=\{x|P(X\leq{x})\geq{u},P(X\geq{x})\geq{1}-u\}とおく時、I_{u}は閉区間となり
 [x_{L}, x_{R}]に一致することを示せ。


解答)
テキストp17の(2.25)式と(2.26)式より

    \begin{eqnarray}
        x_{L} = F_{L}^{-1}(u) = min\{x|P(X\leq{x})\geq{u}\}
    \end{eqnarray}
...(2.25)

    \begin{eqnarray}
        x_{R} = F_{R}^{-1}(u) = max\{x|P(X\geq{x})\geq{1-u}\}
    \end{eqnarray}
...(2.26)
である。

    \begin{eqnarray}
        I_{u}^{L} = \{x|P(X\leq{x})\geq{u}\} 
    \end{eqnarray}
...(1)

    \begin{eqnarray}
        I_{u}^{R} = \{x|P(X\geq{x})\geq{1}-u\}
    \end{eqnarray}
...(2)
とおくと、

    \begin{eqnarray}
        I_{u} = I_{u}^{L} \cap I_{u}^{R}
    \end{eqnarray}
...(3)
と表せる。
集合I_{u}^{L}の要素の最小値は(2.26)式よりx_{L}である。
集合I_{u}^{R}の要素の最大値は(2.27)式よりx_{R}である。
また、テキストp17~p18で説明があるようにx_{R}\geq{x}_{L}である。
以上よりI_{u} = I_{u}^{L} \cap I_{u}^{R}の最小値はx_{L}で最大値はx_{R}であるので
I_{u}は閉区間 [x_{L}, x_{R}]に一致する。

以上

現代数理統計学(竹村彰通 創文社 p34 問3 解答)

問)
k(>0)次のモーメントが存在すれば 0 < h < k となるhについて
h次のモーメントは存在することを示せ。

解答)
下記の不等式

    \begin{eqnarray}
        |X|^{h} \leq 1 + |X|^{k}
    \end{eqnarray}
...(0)
が任意のX=xに対して成り立つと仮定する。
Xが離散確率変数の場合、Xの確率関数P(X)を(0)式の両辺に掛けた場合、
常にP(X)\geq0が成り立つので

    \begin{eqnarray}
        |X|^{h}P(X) \leq P(X) + |X|^{k}P(X)
    \end{eqnarray}
...(1)
が成り立つ。同様に

    \begin{eqnarray}
        \sum_{x}|x|^{h}P(x) \leq \sum_{x}P(x) + \sum_{x}|x|^{k}P(x)
    \end{eqnarray}
...(2)
も成り立つ。
Xが連続確率変数の場合、X確率密度関数f(X)を(0)式の両辺に掛けた場合、
常にf(X)\geq0が成り立つので

    \begin{eqnarray}
        |X|^{h}f(X) \leq f(X) + |X|^{k}f(X)
    \end{eqnarray}
...(3)
が成り立つ。同様に

    \begin{eqnarray}
        \int|x|^{h}f(x)dx \leq \int{f(x)}dx + \int|x|^{k}f(x)dx
    \end{eqnarray}
...(4)
も成り立つ。
以上から(0)式が任意のX=xに対して成り立てば、

    \begin{eqnarray}
        E[|X|^{h}] \leq 1 + E[|X|^{k}]
    \end{eqnarray}
...(5)
が成り立つ。(5)式内の2つの期待値は原点まわりのモーメントであるが、X=g(Y)と置けば任意の関数のモーメント
においても(5)式が成り立つことがわかる。
また、この問の仮定よりk次モーメントが存在するので

    \begin{eqnarray}
        E[|X|^{k}] < \infty
    \end{eqnarray}
...(6)
が成り立つ。したがって、(5)式と(6)式により

    \begin{eqnarray}
        E[|X|^{h}] < \infty
    \end{eqnarray}
...(7)
が成り立つ。(7)式はh次のモーメントが存在することと同値である。
以上より、(0)式が任意のX=xに対して成り立つことを示せば、h次のモーメントが存在すること
を示したことになる。
以下、(0)式が成り立つことを示す。
hkはモーメントのべき指数であるので自然数であることに注意して、次の3通りの場合を確認する。

  • (ⅰ) |X|=0のとき
  • (ⅱ)  0<|X|<1のとき
  • (ⅲ) |X|\geq{1}のとき

(ⅰ) |X|=0のとき

    \begin{eqnarray}
        0 \leq 1 + 0
    \end{eqnarray}
より(0)式が成り立つ。

(ⅱ)  0<|X|<1のとき
 0<|X|^{h}<1, 0<|X|^{k}<1であるので、

    \begin{eqnarray}
        |X|^{h} \leq 1 + |X|^{k}
    \end{eqnarray}
...(0)
が成り立つ。

(ⅲ) |X|\geq{1}のとき
 |X|^{h}<|X|^{k}であるので、

    \begin{eqnarray}
        |X|^{h} \leq 1 + |X|^{k}
    \end{eqnarray}
...(0)
が成り立つ。
以上より(0)式は常に成り立つので、h次のモーメントは存在する。

以上

現代数理統計学(竹村彰通 創文社 p34 問2 解答)

問) Xを離散確率変数としY=g(X)とおく。Yの確率変数p_{Y}(y)を用いて 定義したYの期待値E(Y)=\sum{y}p_{Y}(y)E[g(X)]=\sum_{x}g(x)p_{X}(x)に一致することを示せ。

解答) 以下のような指示関数

 \begin{eqnarray}
          I_{Y}(x) = \begin{cases}
                          1 \ \ \ \ x \in Y \\
                          0 \ \ \ \ other
                      \end{cases}
      \end{eqnarray}

を定義する。この指示関数を用いると

 \begin{eqnarray}
          g(X) = Y = YI_{Y}(X)
      \end{eqnarray}

と表せる。さらにxはただ1つのyに対応するため、xを固定した場合、

 \begin{eqnarray}
          g(x) = y = \sum_{y\ni{x}}yI_{y}(x)
      \end{eqnarray}

と表せる。以上の関係式を用いると、

 \begin{eqnarray}
      E[g(x)] = \sum_{x}g(x)p_{X}(x) \\
                    = \sum_{x}(\sum_{y\ni{x}}yI_{y}(x))p_{X}(x) \\
                    = \sum_{y\ni{x}}y(\sum_{x\in{y}}I_{y}(x)p_{X}(x))
      \end{eqnarray}

となる。\sum_{x\in{y}}I_{y}(x)p_{X}(x)xyに属する確率であり、Yの確率関数 p_{Y}(y)に一致する。よって

 \begin{eqnarray}
        E[g(X)]=\sum_{y\ni{x}}{y}p_{Y}(y)=\sum_{y}{y}p_{Y}(y)=E(Y)
      \end{eqnarray}

が示された。

以上

現代数理統計学(竹村彰通 創文社 p34 問1 解答)

問)平均まわりの k次モーメントを原点まわりのモーメントを用いて表せ。また原点まわりの k次モーメントを平均まわりのモーメントと \mu = E(X)を用いて表せ。

 

解答)

  • 平均まわりの k次モーメントE[(X - \mu)^k]を原点まわりのモーメントE[X^{k'}]を用いて表す。

 $$ E[(X - \mu)^k] = E[\sum_{l = 0}^{k}\{{_k}C{_c}X^{k-l}(-\mu)^l\}] $$

$$ = \sum_{l = 0}^{k}\{{_k}C{_l}(-1)^lE[X^{k-l}]\mu^l\} $$

$$ = \sum_{l = 0}^{k}[{_k}C{_l}(-1)^lE[X^{k-l}]\{E[X^1]\}^l] $$

  • 原点まわりのk次モーメントE[X^{k}]を平均まわりのモーメントE[(X - \mu)^{k'}]と \mu = E(X)を用いて表す。

$$ E[X^k] = E[(X - \mu + \mu)^k] $$

$$ = E[\sum_{l = 0}^{k}\{{_k}C{_l}(X - \mu)^{k-l}{\mu}^l\}]$$

$$ = \sum_{l = 0}^{k}\{{_k}C{_l}\mu^{l}E[(X - \mu)^{k-l}]\} $$

 

以上