割った余り

主に統計学の勉強メモ

現代数理統計学(竹村彰通 創文社 p34 問1 解答)

問)平均まわりの k次モーメントを原点まわりのモーメントを用いて表せ。また原点まわりの k次モーメントを平均まわりのモーメントと \mu = E(X)を用いて表せ。

 

解答)

  • 平均まわりの k次モーメントE[(X - \mu)^k]を原点まわりのモーメントE[X^{k'}]を用いて表す。

 $$ E[(X - \mu)^k] = E[\sum_{l = 0}^{k}\{{_k}C{_c}X^{k-l}(-\mu)^l\}] $$

$$ = \sum_{l = 0}^{k}\{{_k}C{_l}(-1)^lE[X^{k-l}]\mu^l\} $$

$$ = \sum_{l = 0}^{k}[{_k}C{_l}(-1)^lE[X^{k-l}]\{E[X^1]\}^l] $$

  • 原点まわりのk次モーメントE[X^{k}]を平均まわりのモーメントE[(X - \mu)^{k'}]と \mu = E(X)を用いて表す。

$$ E[X^k] = E[(X - \mu + \mu)^k] $$

$$ = E[\sum_{l = 0}^{k}\{{_k}C{_l}(X - \mu)^{k-l}{\mu}^l\}]$$

$$ = \sum_{l = 0}^{k}\{{_k}C{_l}\mu^{l}E[(X - \mu)^{k-l}]\} $$

 

以上