現代数理統計学(竹村彰通 創文社 p34 問1 解答)
問)平均まわりの次モーメントを原点まわりのモーメントを用いて表せ。また原点まわりの次モーメントを平均まわりのモーメントとを用いて表せ。
解答)
- 平均まわりの 次モーメント]を原点まわりのモーメント]を用いて表す。
$$ E[(X - \mu)^k] = E[\sum_{l = 0}^{k}\{{_k}C{_c}X^{k-l}(-\mu)^l\}] $$
$$ = \sum_{l = 0}^{k}\{{_k}C{_l}(-1)^lE[X^{k-l}]\mu^l\} $$
$$ = \sum_{l = 0}^{k}[{_k}C{_l}(-1)^lE[X^{k-l}]\{E[X^1]\}^l] $$
- 原点まわりの次モーメント]を平均まわりのモーメント]とを用いて表す。
$$ E[X^k] = E[(X - \mu + \mu)^k] $$
$$ = E[\sum_{l = 0}^{k}\{{_k}C{_l}(X - \mu)^{k-l}{\mu}^l\}]$$
$$ = \sum_{l = 0}^{k}\{{_k}C{_l}\mu^{l}E[(X - \mu)^{k-l}]\} $$
以上