第一パラメータがゼロ、第二パラメータが1のロジスティック分布の期待値と分散を導出した。

F分布に従う確率変数の定義から確率密度関数を導出した。

自由度nのt分布の確率密度関数をt分布に従う確率変数の定義から導出した。

「モンティ・ホール問題」を条件付確率の公式を用いて解いてみます。 「モンティ・ホール問題」の概要については、ウィキペディアを参照。 モンティ・ホール問題 - Wikipedia最初に、以下の3つの事象を設定します。 最初の選択時にプレイヤーがアタリのドア…

問) ...(2.83) を示せ。またとおく時 ...(2.84) を示せ。これよりが連続ならば,の時 ...(2.85) を示せ。また、が離散分布の場合には(2.83)式及び(2.84)式で等号が 必ずしも成り立たないことを例を用いて示せ。解答) テキストp17～p18の説明のとおり ...(1) …

問) をとの間の一様分布に従う確率変数とする。を1次元の分布の 累積分布関数とし及びを左連続及び右連続なの逆関数とする。 も分布に従うことを示せ。またとおくとき 確率1でとなることを示せ。このような確率変数の変換を 確率積分変換(integral probabill…

問) とおく時、は閉区間となり に一致することを示せ。 解答) テキストp17の(2.25)式と(2.26)式より ...(2.25) ...(2.26) である。 ...(1) ...(2) とおくと、 ...(3) と表せる。 集合の要素の最小値は(2.25)式よりである。 集合の要素の最大値は(2.26)式より…

問) 次のモーメントが存在すればとなるについて 次のモーメントは存在することを示せ。解答) 下記の不等式 ...(0) が任意のに対して成り立つと仮定する。 が離散確率変数の場合、の確率関数を(0)式の両辺に掛けた場合、 常にが成り立つので ...(1) が成り立…

問) を離散確率変数としとおく。の確率変数を用いて 定義したの期待値がに一致することを示せ。 解答) 以下のような指示関数 を定義する。この指示関数を用いると と表せる。さらにはただ1つのに対応するため、を固定した場合、 と表せる。以上の関係式を用…

問)平均まわりの次モーメントを原点まわりのモーメントを用いて表せ。また原点まわりの次モーメントを平均まわりのモーメントとを用いて表せ。 解答) 平均まわりの 次モーメント]を原点まわりのモーメント]を用いて表す。 $$ E[(X - \mu)^k] = E[\sum_{l = 0…

ベイズの定理を使った練習問題を解く際に注意することのメモ。 まず、以下のベイズの定理の公式 $$ P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} $$ ...(1) は練習問題を解くうえでまず役に立ちません。(断言) 以下の公式ならどうでしょう。 $$ P(A,B) = P(B|A)P(A) $$…