ベイズの定理を使った解答テクニック
ベイズの定理を使った練習問題を解く際に注意することのメモ。
まず、以下のベイズの定理の公式
$$ P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} $$ ...(1)
は練習問題を解くうえでまず役に立ちません。(断言)
以下の公式ならどうでしょう。
$$ P(A,B) = P(B|A)P(A) $$ ...(2)
(2)式もまず使えないでしょうが以下の役に立つ公式
$$ P(B) = \sum_i{P(B|A_i)P(A_i)} $$ ...(3)
を証明するのに使えます。
がのに関する周辺確率だと考えた場合、(2)式を使っては
$$ P(B) = \sum_i{P(B,A_i)} $$
$$ = \sum_i{P(B|A_i)P(A_i)} $$ ...(4)
と表せることが示せます。(これで(3)式が示せました。)
(3)式は使えます。(断言)
実際に(3)式を使って練習問題を解いてみます。
練習問題(例1)
「ある病気にかかっている」という事象をとする。
現在判明している事実は検査の結果、
妖精と判断される確率と、
妖精と判断された場合にその病気にかかっている確率と、
院生と判断される確率と、
院生と判断された場合にその病気にかかっている確率、
である。
この場合に「ある病気にかかっている」確率を求めよ。
ただし、検査の結果は妖精か院生の2値のいずれかであるとする。
練習問題(例1:解答)
(3)式が直接使えます。
$$ P(B) = {P(B|A{_妖})}{P(A{_妖})} + {P(B|A{_院})}{P(A{_院})} $$
以上。