現代数理統計学(竹村彰通創文社 p34 問5 解答)

問)
$U$ を $0$ と $1$ の間の一様分布に従う確率変数とする。 $F$ を1次元の分布の
累積分布関数とし $F_{L}^{-1}$ 及び $F_{R}^{-1}$ を左連続及び右連続な $F$ の逆関数とする。
$X_{R}=F_{R}^{-1}(U)$ も分布 $F$ に従うことを示せ。また $X_{L}=F_{L}^{-1}(U)$ とおくとき
確率1で $X_{R}=X_{L}$ となることを示せ。このような確率変数の変換を
確率積分変換(integral probabillity transformation)と呼ぶことがる。

解答)
分布 $F$ に従う1次元の確率変数を $X$ としその実現値を $x$ とする。
$X_{R}=F_{R}^{-1}(U)$ が分布 $F$ に従うことは
$\begin{eqnarray} P(X_{R}\leq{x})=F(x) \end{eqnarray}$ ...(1)
であることと同値であるので、(1)式を示す。
$X_{R}=F_{R}^{-1}(U)$ の定義
$\begin{eqnarray} X_{R} = F_{R}^{-1}(U) = max\{x|P(X\geq{x})\geq{1-U}\} \end{eqnarray}$ ...(2)
より
$\begin{eqnarray} x{\leq}F_{R}^{-1}(U) \Leftrightarrow P(X\geq{x})\geq{1-U} \end{eqnarray}$ ...(3)
である。(3)式が成り立つ確率は
$\begin{eqnarray} P(x{\leq}F_{R}^{-1}(U)) &=& P(P(X{\geq}x){\geq}1-U) \\ &=& P(1-F(x)+P(x=F_{R}^{-1}(U)){\geq}1-U) \\ &=& P(U{\geq}F(x)-P(x=F_{R}^{-1}(U))) \\ &=& 1-F(x)+P(x=F_{R}^{-1}(U)) \end{eqnarray}$
...(4)
となる。(4)式の最後の等号は確率変数 $U$ が連続な変数であるから $P(U\leq{x})=P(U{<}x)$ であることと、確率変数 $U$ が $0$ と $1$ の間の一様分布に従う場合の累積分布関数の関係式
$\begin{eqnarray} P(U\leq{x}) = x \end{eqnarray}$ ...(5)
を変形した
$\begin{eqnarray} 1-P(U\leq{x}) = 1-x \end{eqnarray}$ ...(6)
を用いた。(4)式より
$\begin{eqnarray} F(x) &=& 1+P(x=F_{R}^{-1}(U))-P(x{\leq}F_{R}^{-1}(U)) \\ &=& 1-P(x{<}F_{R}^{-1}(U)) \\ &=& P(F_{R}^{-1}(U){\leq}x) \end{eqnarray}$
...(7)
となるので(1)式が示されて、 $X_{R}=F_{R}^{-1}(U)$ も分布 $F$ に従うことを示せた。

次に $X_{L}=F_{L}^{-1}(U)$ とおくとき確率1で $X_{R}=X_{L}$ となることを示す。
テキストp19の(2.29)式より
$\begin{eqnarray} P(X_{L}{\leq}x)=F(x) \end{eqnarray}$ ...(8)
である。(8)式と先に示した(1)式から
$\begin{eqnarray} P(X_{L}{\leq}x)=P(X_{R}{\leq}x) \end{eqnarray}$ ...(9)
である。(9)式の $x$ に $X_{L}$ と $X_{R}$ をそれぞれ代入すると、
$\begin{eqnarray} P(X_{L}{\leq}X_{R})=P(X_{R}{\leq}X_{R})=P(X_{R}=X_{R})=1 \end{eqnarray}$ ...(10)
$\begin{eqnarray} P(X_{R}{\leq}X_{L})=P(X_{L}{\leq}X_{L})=P(X_{L}=X_{L})=1 \end{eqnarray}$ ...(11)
となる。また、
$\begin{eqnarray} (X_{R}{\leq}X_{L}){\cap}(X_{L}{\leq}X_{R})\Leftrightarrow(X_{L}=X_{R}) \end{eqnarray}$ ...(12)
$\begin{eqnarray} P( (X_{R}{\leq}X_{L}){\cup}(X_{L}{\leq}X_{R}) )=1 \end{eqnarray}$ ...(13)
である。以上の(10)式と(11)式と(12)式と(13)式より
$\begin{eqnarray} P(X_{L}=X_{R}) &=& P( (X_{R}{\leq}X_{L}){\cap}(X_{L}{\leq}X_{R}) ) \\ &=& P(X_{R}{\leq}X_{L}) + P(X_{L}{\leq}X_{R}) - P( (X_{R}{\leq}X_{L}){\cup}(X_{L}{\leq}X_{R}) ) \\ &=& 1 + 1 - 1 \\ &=& 1 \end{eqnarray}$
...(14)
となる。これで $X_{L}=F_{L}^{-1}(U)$ とおくとき確率1で $X_{R}=X_{L}$ となることを示せた。

以上

割った余り

主に統計学の勉強メモ

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