割った余り

主に統計学の勉強メモ

現代数理統計学(竹村彰通 創文社 p34 問6 解答)

問)

    \begin{eqnarray}
        F(F_{L}^{-1}(u))\geq{u} & & , & & F(F_{R}^{-1}(u))\geq{u}
    \end{eqnarray}
...(2.83)
を示せ。また F(x-)=P(X{<}x)とおく時

    \begin{eqnarray}
        F(F_{L}^{-1}(u)-)\leq{u} & & , & & F(F_{R}^{-1}(u)-)\leq{u}
    \end{eqnarray}
...(2.84)
を示せ。これよりFが連続ならば,X{\sim}Fの時

    \begin{eqnarray}
        F(x){\sim}U[0,1]
    \end{eqnarray}
...(2.85)
を示せ。また、Fが離散分布の場合には(2.83)式及び(2.84)式で等号が
必ずしも成り立たないことを例を用いて示せ。

解答)
テキストp17~p18の説明のとおり

    \begin{eqnarray}
        F_{R}^{-1}(u){\geq}F_{L}^{-1}(u)
    \end{eqnarray}
...(1)
である。(1)式の両辺の値それぞれの累積分布関数の大小関係は

    \begin{eqnarray}
        F(F_{R}^{-1}(u)){\geq}F(F_{L}^{-1}(u))
    \end{eqnarray}
...(2)
と変わらない。(2)式より

    \begin{eqnarray}
        F(F_{L}^{-1}(u)){\geq}u
    \end{eqnarray}
...(3)
を示せば(2.83)式を示したことになる。
(3)式はテキストp17に書かれている定義

    \begin{eqnarray}
        F_{L}^{-1}(u)=min(x|F(x){\geq}u)
    \end{eqnarray}
...(2.25)
より明らかである。
以上より(2.83)式が示された。

次に(2.84)式を示す。
(1)式の大小関係は F(x-)=P(X{<}x)より

    \begin{eqnarray}
        F(F_{R}^{-1}(u)-){\geq}F(F_{L}^{-1}(u)-)
    \end{eqnarray}
...(4)
である。(4)式より

    \begin{eqnarray}
        F(F_{R}^{-1}(u)-){\leq}u
    \end{eqnarray}
...(5)
を示せば(2.84)式を示したことになる。
テキストp17のF_{R}^{-1}(u)の定義式(2.26)式は

    \begin{eqnarray}
        F_{R}^{-1}(u) &=& max\{x|P(X{\geq}x){\geq}1-u\} \\
                      &=& max\{x|1-P(X{<}x){\geq}1-u\} \\
                      &=& max\{x|P(X{<}x){\leq}u\} \\
                      &=& max\{x|F(x-){\leq}u\}                      
    \end{eqnarray}
...(6)
と変形できる。(6)式より(5)式が成り立つのは明らかである。
以上より(2.84)式が示された。

次に(2.85)式を示す。
(2.85)式は

    \begin{eqnarray}
        P(F(x){\leq}u) = \begin{cases}
                          0 \ \ \ if \ \ \ u<0 \\
                          u \ \ \ if \ \ \ 0{\leq}u{\leq}1 \\
                          1 \ \ \ if \ \ \ u>1
                    \end{cases}                  
    \end{eqnarray}
...(7)
と同値である。
F(x)は累積分布関数であるので常に0{\leq}F(x)である。
よってu<0の場合、

    \begin{eqnarray}
        P(F(x){\leq}u) = 0          
    \end{eqnarray}
...(8)
である。また、F(x)は累積分布関数であるので常にF(x){\leq}1である。
よってu>1の場合、

    \begin{eqnarray}
        P(F(x){\leq}u) = 1        
    \end{eqnarray}
...(9)
である。
最後に0{\leq}u{\leq}1の場合を考える。
(2)式と

    \begin{eqnarray}
        F(F_{L}^{-1}(u))=P(X{\leq}F_{L}^{-1}(u))        
    \end{eqnarray}
...(10)

    \begin{eqnarray}
        F(F_{R}^{-1}(u)-)=P(X{<}F_{R}^{-1}(u))        
    \end{eqnarray}
...(11)
より

    \begin{eqnarray}
        F(F_{L}^{-1}(u)){\leq}F(F_{R}^{-1}(u)-)       
    \end{eqnarray}
...(12)
である。(12)式と(2.83)式と(2.84)式から

    \begin{eqnarray}
        u{\leq}F(F_{L}^{-1}(u)){\leq}F(F_{R}^{-1}(u)-){\leq}u       
    \end{eqnarray}
...(13)
である。また、テキストp18の(2.28)式より

    \begin{eqnarray}
        x{\leq}F_{L}^{-1}(u){\Leftrightarrow}F(x){\leq}u      
    \end{eqnarray}
...(14)
であるから、X=xとして定数とし、X^{'}を確率変数としたとき、

    \begin{eqnarray}
        F(F_{L}^{-1}(u)) &=& P(X{\leq}F_{L}^{-1}(u)) \\
                      &=& P(F(X){\leq}u) \\
                      &=& P(F(X^{'}{\leq}X){\leq}u) \\
           &=& P(F(x){\leq}u)
    \end{eqnarray}
...(15)
となる。(13)式と(15)式より

    \begin{eqnarray}
        P(F(x){\leq}u) = u
    \end{eqnarray}
...(16)
となる。
これで(8)式と(9)式と(16)式より(7)式が示されたので、
(2.85)式が示された。

最後にFが離散分布の場合には(2.83)式及び(2.84)式で等号が
必ずしも成り立たないことを例を用いて示す。
X

    \begin{eqnarray}
        X{\sim}Bin(5,\frac{1}{6})
    \end{eqnarray}
...(17)
のような二項分布に従うと仮定する。このとき

    \begin{eqnarray}
        P(X=0) &=& {}_{5}C_{0}(\frac{1}{6})^{0}(\frac{5}{6})^{5} &=& (\frac{5}{6})^{5} \\
        P(X=1) &=& {}_{5}C_{1}(\frac{1}{6})^{1}(\frac{5}{6})^{4} &=& (\frac{5}{6})^{5} \\
        P(X=2) &=& {}_{5}C_{2}(\frac{1}{6})^{2}(\frac{5}{6})^{3} &=& (\frac{2}{6})(\frac{5}{6})^{4}
    \end{eqnarray}
...(18)
であるので、
例えばu=2(\frac{5}{6})^{5}+(\frac{1}{6})(\frac{5}{6})^{4}のとき

    \begin{eqnarray}
        P(X{\leq}1) < u < P(X{\leq}2) 
    \end{eqnarray}
...(19)
であるから、

    \begin{eqnarray}
        F_{L}^{-1}(u)=min\{x|P(X{\leq}x){\geq}u\}=2
    \end{eqnarray}
...(20)

    \begin{eqnarray}
        F_{R}^{-1}(u)=max\{x|P(X{<}x){\leq}u\}=2
    \end{eqnarray}
...(21)
である。よって、

    \begin{eqnarray}
        F(F_{L}^{-1}(u))=P(X{\leq}2)=2(\frac{5}{6})^{5}+(\frac{2}{6})(\frac{5}{6})^{4}{>}u
    \end{eqnarray}
...(22)

    \begin{eqnarray}
        F(F_{R}^{-1}(u))=P(X{\leq}2)=2(\frac{5}{6})^{5}+(\frac{2}{6})(\frac{5}{6})^{4}{>}u
    \end{eqnarray}
...(23)

    \begin{eqnarray}
        F(F_{L}^{-1}(u)-)=P(X{<}2)=2(\frac{5}{6})^{5}{<}u
    \end{eqnarray}
...(24)

    \begin{eqnarray}
        F(F_{R}^{-1}(u)-)=P(X{<}2)=2(\frac{5}{6})^{5}{<}u
    \end{eqnarray}
...(25)
となるので、この場合では等号が成り立つXは存在しない。

以上