割った余り

主に統計学の勉強メモ

現代数理統計学(竹村彰通創文社 p34 問2 解答)

現代数理統計学(竹村彰通創文社解答) 統計学

問) $X$ を離散確率変数とし $Y=g(X)$ とおく。 $Y$ の確率変数 $p_{Y}(y)$ を用いて定義した $Y$ の期待値 $E(Y)=\sum{y}p_{Y}(y)$ が $E[g(X)]=\sum_{x}g(x)p_{X}(x)$ に一致することを示せ。

解答) 以下のような指示関数

$\begin{eqnarray} I_{Y}(x) = \begin{cases} 1 \ \ \ \ x \in Y \\ 0 \ \ \ \ other \end{cases} \end{eqnarray}$

を定義する。この指示関数を用いると

$\begin{eqnarray} g(X) = Y = YI_{Y}(X) \end{eqnarray}$

と表せる。さらに $x$ はただ1つの $y$ に対応するため、 $x$ を固定した場合、

$\begin{eqnarray} g(x) = y = \sum_{y\ni{x}}yI_{y}(x) \end{eqnarray}$

と表せる。以上の関係式を用いると、

$\begin{eqnarray} E[g(x)] = \sum_{x}g(x)p_{X}(x) \\ = \sum_{x}(\sum_{y\ni{x}}yI_{y}(x))p_{X}(x) \\ = \sum_{y\ni{x}}y(\sum_{x\in{y}}I_{y}(x)p_{X}(x)) \end{eqnarray}$

となる。 $\sum_{x\in{y}}I_{y}(x)p_{X}(x)$ は $x$ が $y$ に属する確率であり、 $Y$ の確率関数 $p_{Y}(y)$ に一致する。よって

$\begin{eqnarray} E[g(X)]=\sum_{y\ni{x}}{y}p_{Y}(y)=\sum_{y}{y}p_{Y}(y)=E(Y) \end{eqnarray}$

が示された。

以上