割った余り

小問[1]
小問[2]
小問[3]
小問[4]-1
小問[4]-2

表1: 地域Cの血液型分布（観測度数）

血液型	O型	A型	B型	AB型	合計
観測度数	24	48	16	12	100

小問[1]

帰無仮説を

$O型:A型:B型:AB型 = 3:4:2:1$

とする。

表1について適合度のカイ二乗検定を有意水準5%で行い結果を述べる。

$\begin{aligned} 検定統計量の実現値 &=\frac{(24-30)^{2}}{30}+\frac{(48-40)^{2}}{40}+\frac{(16-20)^{2}}{20}+\frac{(12-10)^{2}}{10} \\ &=\frac{36}{30}+\frac{64}{40}+\frac{16}{20}+\frac{4}{10} \\ &=1.2+1.6+0.8+0.2 \\ &=4.0 \end{aligned}$

である。
この検定統計量は帰無仮説のもとで漸近的に自由度 $4-1=3$ のカイ二乗分布に従う。

$自由度3のカイ二乗分布の上側5\%点 = 7.81$

であり、

$4.0 < 7.81$

より、帰無仮説は棄却できない。

小問[2]

血液型の分布度数が、 $k$ を自然数として $6k, 12k, 4k, 3k$ であったとき、適合度のカイ二乗検定が有意水準 $5\%$ で有意になる最小の $k$ を求める。

期待度数は観測度数合計 $6k + 12k + 4k + 3k = 25k$ の帰無仮説のもとでの分配数なのでそれぞれ

$25k \times \frac{3}{10} : 25k \times \frac{4}{10} : 25k \times \frac{2}{10} : 25k \times \frac{1}{10} = 7.5k : 10k : 5.0k : 2.5k$

である。よって

$\begin{aligned} 検定統計量の実現値&=\frac{(6k- 7.5k)^{2}}{7.5k}+\frac{(12 k-10 k)^{2}}{10 k}+\frac{(4 k-5 k)^{2}}{5 k}+\frac{(3k -2.5k)^{2}}{2.5 k} \\ &=k\left\{\frac{(-1.5)^{2}}{7.5}+\frac{2^{2}}{10}+\frac{(-1)^{2}}{5}+\frac{(0.5)^{2}}{2.5}\right\} \\ &=k \end{aligned}$

である。
よって有意水準 $5\%$ で有意になるには

$\begin{aligned} k > 7.81 \end{aligned}$

である必要がある。
なので有意水準 $5\%$ で有意になる最小の $k$ は $8$ である。

小問[3]

適合度カイ二乗検定統計量が近似的にカイ二乗分布に従う根拠を述べる。

$n$ 件のデータが $K$ 個のカテゴリーのいずれかに分類されるとする。
データの $1$ 件 $1$ 件は互いに独立にそれぞれ

$\begin{aligned} \pi_{1}, \pi_{2}, \ldots, \pi_{K} \end{aligned}$

の確率でそれぞれ

$\begin{aligned} X_{1}, X_{2}, \dots, X_{K} \end{aligned}$

の件数に分類されるとする。すなわち

$\begin{aligned} &\pi_{1}+\pi_{2}+\ldots+\pi_{K}=1\\ &X_{1}+X_{2}+\dots+X_{K}=n \end{aligned}$

である。
このとき適合度カイ二乗検定統計量 $Q$ は

$\begin{aligned} Q=\sum_{i=1}^{K} \frac{\left(X_{i}-n \pi_{i}\right)^{2}}{n \pi_{i}} \end{aligned}$

と表せる。

$\begin{aligned} \frac{\left(X_{K}-n \pi_{K}\right)^{2}}{n \pi_{K}} &=\frac{\left(n- \displaystyle \sum_{i=1}^{K-1} X_{i}-n+n \displaystyle \sum_{i=1}^{K-1} \pi_{i}\right)^{2}}{n \pi_{K}} \\ &=\frac{n}{\pi_{K}}\left\{\sum_{i=1}^{K-1}\left(\pi_{i}-\frac{X_{i}}{n}\right)\right\}^{2} \\ &=\frac{n}{\pi_{K}}\left\{\sum_{i=1}^{K-1}\left(\frac{X_{i}}{n}-\pi_{i}\right)^{2}+\sum_{i \neq j}\left(\frac{X_{i}}{n}-\pi_{i}\right)\left(\frac{X_{j}}{n}-\pi_{j}\right)\right\} \end{aligned}$

より、

$\begin{aligned} Q &=\sum_{i=1}^{K-1}\left\{\frac{1}{\pi_{i}} n\left(\frac{X_{i}}{n}-\pi_{i}\right)^{2} \right\}+\frac{\left(X_{K} - n\pi_{K}\right)^{2}}{n \pi_{K}} \\ &= \sum_{i=1}^{K-1}\left\{\left(\frac{1}{\pi_{i}}+\frac{1}{\pi_{K}}\right) n\left(\frac{X_{i}}{n}-\pi_{i}\right)^{2}\right\} +\frac{1}{\pi_{K}} \sum_{i \neq j} n\left(\frac{X_{i}}{n}-\pi_{i}\right)\left(\frac{X_{j}}{n}-\pi_{j}\right) \\ &= \left [\sqrt{n}\left(\frac{X_{1}}{n}-\pi_{1}\right), \sqrt{n}\left(\frac{X_{2}}{n}-\pi_{2}\right),\cdots, \sqrt{n}\left(\frac{X_{K-1}}{n}-\pi_{K-1}\right)\right ] \\ & \times \left[\begin{array}{ccccc} {\frac{1}{\pi_{1}}+\frac{1}{\pi_{K}}} & {\frac{1}{\pi_{K}}} & {\frac{1}{\pi_{K}}} & {\cdots} & {\frac{1}{\pi_{K}}} \\ {\frac{1}{\pi_{K}}} & {\frac{1}{\pi_{2}}+\frac{1}{\pi_{K}}} & {\frac{1}{\pi_{K}}} & {\cdots} & {\frac{1}{\pi_{K}}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} \\ {\frac{1}{\pi_{K}}} & {\frac{1}{\pi_{K}}} & {\frac{1}{\pi_{K}}} & {\cdots} & {\frac{1}{\pi_{K}}} \\ {\frac{1}{\pi_{K}}} & {\frac{1}{\pi_{K}}} & {\frac{1}{\pi_{K}}} & {\cdots} & {\frac{1}{\pi_{K-1}}+\frac{1}{\pi_{K}}}\end{array}\right] \\ & \times \left[\begin{array}{c} {\sqrt{n}\left(\frac{X_{1}}{n}-\pi_{1}\right)} \\ {\sqrt{n}\left(\frac{X_{2}}{n}-\pi_{2}\right)} \\ {\vdots} \\ {\sqrt{n}\left(\frac{X_{K-1}}{n}-\pi_{K-1}\right)} \end{array}\right] \\ & = Z^{\prime} A Z \end{aligned}$

と表せる。ここで

$\begin{aligned} Z &= \left[\begin{array}{c} {\sqrt{n}\left(\frac{X_{1}}{n}-\pi_{1}\right)} \\ {\sqrt{n}\left(\frac{X_{2}}{n}-\pi_{2}\right)} \\ {\vdots} \\ {\sqrt{n}\left(\frac{X_{K-1}}{n}-\pi_{K-1}\right)} \end{array}\right] \end{aligned}$

$\begin{aligned} A &= \left[\begin{array}{ccccc} {\frac{1}{\pi_{1}}+\frac{1}{\pi_{K}}} & {\frac{1}{\pi_{K}}} & {\frac{1}{\pi_{K}}} & {\cdots} & {\frac{1}{\pi_{K}}} \\ {\frac{1}{\pi_{K}}} & {\frac{1}{\pi_{2}}+\frac{1}{\pi_{K}}} & {\frac{1}{\pi_{K}}} & {\cdots} & {\frac{1}{\pi_{K}}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} \\ {\frac{1}{\pi_{K}}} & {\frac{1}{\pi_{K}}} & {\frac{1}{\pi_{K}}} & {\cdots} & {\frac{1}{\pi_{K}}} \\ {\frac{1}{\pi_{K}}} & {\frac{1}{\pi_{K}}} & {\frac{1}{\pi_{K}}} & {\cdots} & {\frac{1}{\pi_{K-1}}+\frac{1}{\pi_{K}}}\end{array}\right] \end{aligned}$

と置いた。 $Z$ は $(K-1) \times 1$ のベクトルで $A$ は $(K-1) \times (K-1)$ の行列である。すなわち $A$ の要素 $a_{i j}$ は

$\begin{aligned} \{a_{i j}\} = \left\{\begin{array}{ll} {\frac{1}{\pi_{1}}+\frac{1}{\pi_{K}}} \quad {(i=i)} \\ {\frac{1}{\pi_{K}}} \quad (i \neq j) \end{array}\right. \end{aligned}$

である。( $i, j = 1, 2, \cdots K-1$ )
また、( $\prime$ )は転置を意味する。
一方

$\begin{aligned} X=\left [\begin{array}{c} {X_{1}} \\ {\vdots} \\ {X_{K-1}} \end{array}\right] \end{aligned}$

について

$\begin{aligned} & E\left [X_{i}\right ]=n \pi_{i} \quad (i=1,2, \ldots, K-1) \\ & V\left [X_{i}\right ]=n \pi_{i}\left(1-\pi_{i}\right) \quad (i=1,2, \ldots, K-1) \\ & Cov\left(X_{i}, X_{j}\right)=-n \pi_{i} \pi_{j} \quad (i \neq j) \\ & (i,j = 1, 2, \ldots, K-1) \end{aligned}$

である。
ここで、

$\begin{aligned} Z_{i}=\sqrt{n}\left(\frac{X_{i}}{n}-\pi_{i} \right) \end{aligned}$

と $X_{i}$ を変換した $Z_{i}$ について

$\begin{aligned} & E[Z_{i}]= 0 \quad (i=1,2, \ldots, K-1) \\ & V\left[Z_{i}\right] = \frac{n}{n^{2}} n \pi_{i}(1-\pi_{i}) = \pi_{i}\left(1-\pi_{i} \right) \quad (i=1,2, \ldots, K-1)\\ & Cov\left(Z_{i}, Z_{j}\right) = Cov\left(\frac{\sqrt{n}}{n} X_{i}-\pi_{i}, \frac{\sqrt{n}}{n} X_{j}-\pi_{j}\right) =\frac{n}{n^{2}} Cov\left(X_{i}, X_{j}\right)=-\pi_{i} \pi_{j} (i \neq j) \\ & (i, j=1,2, \ldots, K-1) \end{aligned}$

である。よって中心極限定理より

$Z \rightarrow N(0, \Sigma) \quad (n \rightarrow \infty)$

と $Z$ は多変量正規分布に分布収束する。ここで $(K-1) \times (K-1)$ の分散共分散行列 $\Sigma$ の要素 $\sigma_{ij}$ は

$\begin{aligned} \{\sigma_{i j}\} = \left\{\begin{array}{ll} {\pi_{i}\left(1-\pi_{i}\right)} \quad {(i=i)} \\ {-\pi_{i}}{\pi_{j}} \quad (i \neq j) \end{array}\right. \end{aligned}$

である。( $i, j = 1, 2, \cdots K-1$ )
次に $A$ の逆行列が $\Sigma$ であることを示す。
$A$ と $\Sigma$ の積の要素を $\{b_{i j}\}$ とする。
① $i = j$ のとき

$\begin{aligned} b_{i i} &=\sum_{k=1}^{K-1}\left\{a_{i k} \sigma_{k i} \right \} \\ &=\frac{1}{\pi_{K}} \times \left(-\pi_{1} \pi_{i}\right)+\frac{1}{\pi_{K}} \times \left(-\pi_{2} \pi_{i}\right) \\ &+\cdots+\left(\frac{1}{\pi_{i}}+\frac{1}{\pi_{K}}\right) \times \pi_{i}\left(1-\pi_{i}\right) \\ &+\cdots+\frac{1}{\pi_{K}} \times \left(-\pi_{K-1} \pi_{i}\right) \\ &=\frac{\pi_{i}}{\pi_{K}} \times (-1) \times\left(\pi_{1}+\pi_{2}+\cdots+\pi_{K-1}\right) \\ &+(1-\pi_{i}) + \frac{\pi_{i}}{\pi_{K}} \\ &= 1 - \pi_{i} + \frac{\pi_{i}}{\pi_{K}}\pi_{K} = 1 \end{aligned}$

であり、
② $i \neq j$ のとき

$\begin{aligned} b_{i j} &=\sum_{k=1}^{K-1}\left\{a_{i k} \sigma_{k j} \right\} \\ &=\sum_{k\neq i,j}\{\frac{1}{\pi_{K}} \times \left(-\pi_{k}\pi_{j}\right) \} +\left(\frac{1}{\pi_{i}}+\frac{1}{\pi_{K}}\right) \times \left(-\pi_{i}\pi_{j} \right) \\ &+\frac{1}{\pi_{K}} \times \pi_{j}\left(1-\pi_{j}\right) \\ &=\sum_{k = 1}^{K-1} \{\frac{1}{\pi_{K}} \times \left(-\pi_{k} \pi_{j}\right) \}-\pi_{j}+\frac{\pi_{j}}{\pi_{K}} \\ &=-\frac{\pi_{j}}{\pi_{K}} \underbrace{\sum_{k=1}^{K-1} \pi_{k}}_{1-\pi_{K}}+\frac{\pi_{j}}{\pi_{K}}\left(1-\pi_{K}\right) = 0 \end{aligned}$

である。よって $A$ の逆行列は $\Sigma$ である。
$\Sigma$ は分散共分散行列なので対称半正定値であり*1、逆行列が存在するので対称正定値である。
よって $\Sigma$ に対して

$\begin{aligned} C^{\prime} \Sigma C=I \end{aligned}$

を満たす $(K-1) \times (K-1)$ の非特異行列 $C$ が存在する。*2
ここで

$\begin{aligned} Y = C^{\prime}Z \end{aligned}$

と $Z$ を線形変換すると、

$\begin{aligned} E[Y] = 0 \end{aligned}$
$\begin{aligned} V[Y] &= E\left[YY^{\prime}\right] \\ &= E\left[C^{\prime} ZZ^{\prime}C\right] \\ &= C^{\prime} E\left[ZZ^{\prime}\right]C \\ &= C^{\prime}\Sigma C = I \end{aligned}$

であり、多変量正規分布の線形変換は多変量正規分布に従うので、

$\begin{aligned} Y \rightarrow N(0, I) \quad (n \rightarrow \infty) \end{aligned}$

である。従って、

$\begin{aligned} Y^{\prime}Y \rightarrow \chi^{2} (K-1) \quad (n \rightarrow \infty) \end{aligned}$

と $Y^{\prime}Y$ は漸近的に自由度 $K -1$ のカイ二乗分布に従う。
また、

$\begin{aligned} & {C^{\prime} \Sigma C=I} \\ & {\Sigma = \left(C^{\prime}\right)^{-1}(C)^{-1}} \\ & {\Sigma^{-1}=CC^{\prime}} \end{aligned}$

より、

$\begin{aligned} Y^{\prime} Y &= Z^{\prime} C C^{\prime} Z \\ &= Z^{\prime} \Sigma^{-1} Z \\ &= Z^{\prime} A Z = Q \end{aligned}$

なので、

$\begin{aligned} Q \rightarrow \chi^{2} (K-1) \quad (n \rightarrow \infty) \end{aligned}$

と適合度カイ二乗検定統計量 $Q$ は漸近的に自由度 $K -1$ のカイ二乗分布に従う。
$\Box$

小問[4]-1

表2: 遺伝子を考慮した血液型分布

血液型	O型	A型	B型	AB型
遺伝子型	OO	AA AO OA	BB BO OB	AB BA
比率	$r^{2}$	$p^{2} + 2pr$	$q^{2} + 2qr$	$2pq$

遺伝子O、A、B はそれぞれ $r, p, q (r + p + q = 1)$ の比率で分布しているとする。全観測度数を $N$ とし、各血液型の観測度数をそれぞれ $n_{O}, n_{B}, n_{AB}$ 、各遺伝子型の度数を $f_{OO}, f_{AA}, f_{AO}, f_{BB}, f_{BO}, f_{AB},$ とする。( $f_{AO}, f_{BO}, f_{AB}$ はそれぞれAOとOA、BOとOB、ABとBA、の合計度数である)。このとき、 $f_{OO} = n_{o}, f_{AA} + f_{AO} = n_{A}, f_{BB} + f_{BO} = n_{B}, f_{AB} = n_{AB}$ であり、 $f_{AA}, f_{AO}, f_{BB}, f_{BO},$ は実際は観測されない度数である。度数を $f_{OO}, f_{AA}, f_{AO}, f_{BB}, f_{BO}, f_{AB},$ に基づく尤度関数は、 $r,p,q,$ に依存しない定数を無視すると、

$\begin{aligned} L(r, p, q) \propto\left(r^{2}\right)^{f_{OO}}(p^{2})^{f_{AA}}(2pr)^{f_{AO}}(q^{2})^{f_{BB}}\left(2qr\right)^{f_{BO}}(2pq)^{f_{AB}} \end{aligned}$

となる。

ラグランジュの未定乗数を $\lambda$ とした

$\begin{aligned} Q=\ln L(r, p, q)-\lambda(r+r+q-1) \end{aligned}$

を $r, p, q,$ でそれぞれ偏微分して $0$ と置き、 $L(r, p, q)$ を最大化する $r, p, q,$ の値を求める式を示す。
$r,p,q,$ に依存しない定数を $C$ とすると、

$\begin{aligned} Q &= {\ln C + 2f_{OO} \ln r+ f_{AO} \ln p + f_{AO} \ln r} \\ & {+ f_{AO} \ln 2 + 2 f_{BB}\ln q + 2 f_{AA} \ln p} \\ & {+f_{BO} \ln q + f_{B0} \ln r +f_{BO} \ln 2} \\ & {+f_{AB} \ln p + f_{AB} \ln q + f_{AB} \ln 2} \\ & {-\lambda(r+p+q-1)} \end{aligned}$

なので、

$\begin{aligned} &\frac{\partial Q}{\partial r}=\frac{2 f_{OO}}{r}+\frac{f_{AB}}{r}+\frac{f_{BO}}{r}-\lambda=0\\ &\frac{\partial Q}{\partial p}=\frac{f_{AO}}{p}+\frac{f_{AB}}{p}+\frac{2 f_{AA}}{P}-\lambda = 0\\ &\frac{\partial Q}{\partial q}=\frac{2 f_{BB}}{q}+\frac{f_{BO}}{q}+\frac{f_{AB}}{q} - \lambda = 0\\ \end{aligned}$

$\begin{aligned} \lambda(r+p+q) &= 2f_{OO}+f_{AO}+f_{BO} \\ &+ f_{AO} + f_{AB} + 2 f_{AA} \\ &+ 2 f_{BB} + f_{BO} + f_{AB} \\ \lambda &= 2 n_{O} + 2 n_{A} + 2 n_{B} + 2 n_{AB} = 2N \\ \end{aligned}$

より、 $L(r, p, q)$ を最大化する $r, p, q,$ の値を求める式は $L(r, p, q)$ を最大化する $r, p, q,$ の値をそれぞれ $\hat{r}, \hat{p}, \hat{q}$ と置くと、

$\begin{aligned} {\hat{r}=\frac{2 f_{OO} + f_{AO} + f_{BO}}{2 N}} \\ {\hat{p}=\frac{2 f_{AA} + f_{AO} + f_{AB}}{2 N}} \\ \hat{q}=\frac{2 f_{BB} + f_{BO} + f_{AB}}{2 N} \end{aligned}$

と表せる。

小問[4]-2

小問[4]-1で求めた $\hat{r}, \hat{p}, \hat{q}$ を用いて度数 $f_{AA}, f_{AO}, f_{BO}, f_{BB},$ の期待値を求める式を示す。

$f_{AA} + f_{AO} = n_{A}, f_{BB} + f_{BO} = n_{B}$ であることに注意すると

$\begin{aligned} & {\hat{f}_{AB}=N(\hat{p})^{2}} \\ & {\hat{f}_{AO}=n_{A}-\hat{f}_{AB} = n_{A} - N(\hat{p})^{2}} \\ & {\hat{f}_{BB}=N(\hat{q})^{2}} \\ & {\hat{f}_{BO}=n_{B}-\hat{f}_{BB} = n_{B} - N(\hat{q})^{2}} \end{aligned}$

のようにそれぞれの期待値の推定式が求まる。

誤り等ご指摘いただけるとありがたいです。

*1:線形代数の定理3・・・いずれ証明したい。

*2:線形代数の定理2・・・いずれ証明したい。