割った余り

主に統計学の勉強メモ

現代数理統計学(竹村彰通 創文社 p34 問4 解答)

問)
I_{u}=\{x|P(X\leq{x})\geq{u},P(X\geq{x})\geq{1}-u\}とおく時、I_{u}は閉区間となり
 [x_{L}, x_{R}]に一致することを示せ。


解答)
テキストp17の(2.25)式と(2.26)式より

    \begin{eqnarray}
        x_{L} = F_{L}^{-1}(u) = min\{x|P(X\leq{x})\geq{u}\}
    \end{eqnarray}
...(2.25)

    \begin{eqnarray}
        x_{R} = F_{R}^{-1}(u) = max\{x|P(X\geq{x})\geq{1-u}\}
    \end{eqnarray}
...(2.26)
である。

    \begin{eqnarray}
        I_{u}^{L} = \{x|P(X\leq{x})\geq{u}\} 
    \end{eqnarray}
...(1)

    \begin{eqnarray}
        I_{u}^{R} = \{x|P(X\geq{x})\geq{1}-u\}
    \end{eqnarray}
...(2)
とおくと、

    \begin{eqnarray}
        I_{u} = I_{u}^{L} \cap I_{u}^{R}
    \end{eqnarray}
...(3)
と表せる。
集合I_{u}^{L}の要素の最小値は(2.26)式よりx_{L}である。
集合I_{u}^{R}の要素の最大値は(2.27)式よりx_{R}である。
また、テキストp17~p18で説明があるようにx_{R}\geq{x}_{L}である。
以上よりI_{u} = I_{u}^{L} \cap I_{u}^{R}の最小値はx_{L}で最大値はx_{R}であるので
I_{u}は閉区間 [x_{L}, x_{R}]に一致する。

以上