現代数理統計学(竹村彰通創文社 p34 問4 解答)

問)
$I_{u}=\{x|P(X\leq{x})\geq{u},P(X\geq{x})\geq{1}-u\}$ とおく時、 $I_{u}$ は閉区間となり
$[x_{L}, x_{R}]$ に一致することを示せ。

解答)
テキストp17の(2.25)式と(2.26)式より
$\begin{eqnarray} x_{L} = F_{L}^{-1}(u) = min\{x|P(X\leq{x})\geq{u}\} \end{eqnarray}$ ...(2.25)
$\begin{eqnarray} x_{R} = F_{R}^{-1}(u) = max\{x|P(X\geq{x})\geq{1-u}\} \end{eqnarray}$ ...(2.26)
である。
$\begin{eqnarray} I_{u}^{L} = \{x|P(X\leq{x})\geq{u}\} \end{eqnarray}$ ...(1)
$\begin{eqnarray} I_{u}^{R} = \{x|P(X\geq{x})\geq{1}-u\} \end{eqnarray}$ ...(2)
とおくと、
$\begin{eqnarray} I_{u} = I_{u}^{L} \cap I_{u}^{R} \end{eqnarray}$ ...(3)
と表せる。
集合 $I_{u}^{L}$ の要素の最小値は(2.25)式より $x_{L}$ である。
集合 $I_{u}^{R}$ の要素の最大値は(2.26)式より $x_{R}$ である。
また、テキストp17～p18で説明があるように $x_{R}\geq{x}_{L}$ である。
以上より $I_{u} = I_{u}^{L} \cap I_{u}^{R}$ の最小値は $x_{L}$ で最大値は $x_{R}$ であるので
$I_{u}$ は閉区間 $[x_{L}, x_{R}]$ に一致する。

以上

割った余り

主に統計学の勉強メモ

現代数理統計学(竹村彰通創文社 p34 問4 解答)