現代数理統計学(竹村彰通創文社 p34 問3 解答)

問)
$k(>0)$ 次のモーメントが存在すれば $0 < h < k$ となる $h$ について
$h$ 次のモーメントは存在することを示せ。

解答)
下記の不等式
$\begin{eqnarray} |X|^{h} \leq 1 + |X|^{k} \end{eqnarray}$ ...(0)
が任意の $X=x$ に対して成り立つと仮定する。
$X$ が離散確率変数の場合、 $X$ の確率関数 $P(X)$ を(0)式の両辺に掛けた場合、
常に $P(X)\geq0$ が成り立つので
$\begin{eqnarray} |X|^{h}P(X) \leq P(X) + |X|^{k}P(X) \end{eqnarray}$ ...(1)
が成り立つ。同様に
$\begin{eqnarray} \sum_{x}|x|^{h}P(x) \leq \sum_{x}P(x) + \sum_{x}|x|^{k}P(x) \end{eqnarray}$ ...(2)
も成り立つ。
$X$ が連続確率変数の場合、 $X$ の確率密度関数 $f(X)$ を(0)式の両辺に掛けた場合、
常に $f(X)\geq0$ が成り立つので
$\begin{eqnarray} |X|^{h}f(X) \leq f(X) + |X|^{k}f(X) \end{eqnarray}$ ...(3)
が成り立つ。同様に
$\begin{eqnarray} \int|x|^{h}f(x)dx \leq \int{f(x)}dx + \int|x|^{k}f(x)dx \end{eqnarray}$ ...(4)
も成り立つ。
以上から(0)式が任意の $X=x$ に対して成り立てば、
$\begin{eqnarray} E[|X|^{h}] \leq 1 + E[|X|^{k}] \end{eqnarray}$ ...(5)
が成り立つ。
また、この問の仮定より $k$ 次モーメントが存在するので
$\begin{eqnarray} E[|X|^{k}] < \infty \end{eqnarray}$ ...(6)
が成り立つ。したがって、(5)式と(6)式により
$\begin{eqnarray} E[|X|^{h}] < \infty \end{eqnarray}$ ...(7)
が成り立つ。(7)式は $h$ 次の絶対モーメントが存在することと同値である。
$h$ 次の絶対モーメントが存在するとき、
$E[|X|^{h}]$ について $X<0$ の積分(和)区間と $X{\geq}0$ の積分(和)区間に分けてそれぞれ
$E_{X<0}[|X|^{h}]$ 、 $E_{X{\geq}0}[|X|^{h}]$ 、と表すと
$0{\leq}E_{X<0}[|X|^{h}]<{\infty}$ 、 $0{\leq}E_{X{\geq}0}[|X|^{h}]<{\infty}$ 、
であるので、 $-{\infty} < E_{X<0}[X^{h}]{\leq}0$ である。
よって、 $k$ 次絶対モーメントが存在すれば $k$ 次モーメントが存在する。
以上より、(0)式が任意の $X=x$ に対して成り立つことを示せば、 $h$ 次のモーメントが存在すること
を示したことになる。
以下、(0)式が成り立つことを示す。
$h$ と $k$ はモーメントのべき指数であるので自然数であることに注意して、次の3通りの場合を確認する。

(ⅰ) $|X|=0$ のとき
(ⅱ) $0<|X|<1$ のとき
(ⅲ) $|X|\geq{1}$ のとき

(ⅰ) $|X|=0$ のとき
$\begin{eqnarray} 0 \leq 1 + 0 \end{eqnarray}$
より(0)式が成り立つ。

(ⅱ) $0<|X|<1$ のとき
$0<|X|^{h}<1, 0<|X|^{k}<1$ であるので、
$\begin{eqnarray} |X|^{h} \leq 1 + |X|^{k} \end{eqnarray}$ ...(0)
が成り立つ。

(ⅲ) $|X|\geq{1}$ のとき
$|X|^{h}<|X|^{k}$ であるので、
$\begin{eqnarray} |X|^{h} \leq 1 + |X|^{k} \end{eqnarray}$ ...(0)
が成り立つ。
以上より(0)式は常に成り立つので、 $h$ 次のモーメントは存在する。

以上

割った余り

主に統計学の勉強メモ

現代数理統計学(竹村彰通創文社 p34 問3 解答)